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関数のセンスが磨かれる!2点を通る直線の式を関数を意識しながら出す方法

2点を通る直線の式は連立方程式を使って解く人は多いのではないかと思います。直線は傾きや切片を意識しながら解くことが重要です。そういう解き方をしていくことでだんだん関数に関するセンスが磨かれて、関数得意組になることができます。

2点を通る直線は、連立方程式を使って求めない

中学2年で初めて1次関数を習ったときから、ずーっとそう考えている人が多いのではないかと思います。確かに連立方程式を使うと、その場で答えがあっているかどうかの確かめができるので非常に便利です。

しかし連立方程式を使って解くやり方は、直線(1次関数)を考える上で重要な「傾き」や「切片」を意識せずともできてしまうので、非常に危険なやり方だとも思っています。

特に高校生になっても連立方程式でしか直線の式を求められないと、数Ⅱで苦労します。

1次関数の問題は直線の「傾き」や「切片」を意識しながら考えることが大事です。そこで、連立方程式を使わない、「傾き」や「切片」を意識した解き方をご紹介します。この解き方の方が10倍早く解けますし、関数のセンスも徐々に磨かれていくと思います。

練習用に2つ問題を用意しました。

$$ \begin{align} &\text{次の点を通る直線の方程式を求めよ} \\ &\ (1)\ \text{点}(-2, -5),\ \text{点}(3, 15) \\ &\ (2)\ \text{切片が}2,\ 点(3,-4) \end{align} $$

直線は傾きと切片を意識しながら解く

1次関数の一般式である $y=ax+b$ の $a$ は直線の傾きを、$b$ は切片を表しているのでしたね。

だから直線の傾きと切片がわかってしまえば、直線の式は求められるということです。たまに、連立方程式を使わないと求められないと思っている人もいますが、それは間違いです。

そしてその傾きと切片ですがそれぞれどうすれば求めることができるのかをきちんと押さえておきましょう。

直線の傾きは変化の割合のことである。
切片($y$切片)は$y$軸上の$y$の値、つまり$xが0$の時の$y$の値
$※変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$
ということを使って「まず傾きを出して、次に切片を出す」という流れを踏めばOKです。

例えば(1)であれば、まず$$ \begin{matrix} x: \\ y: \end{matrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3 \\ 15 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} +5増加 \\ +10増加 \end{pmatrix} $$なので $\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{10}{5}=2$ となり、傾きは2とわかります。

次に切片ですが、$x$が0の時の$y$の値が解ればいいので、どちらかの点から数えてあげます。

$(-2, 5)$の点から数えるならば、$x$の値を$+2$してやれば$x$が0になってくれます。じゃぁ$y$はどれだけ動けばいいのか。変化の割合が2だとわかりましたから、$x$が+2動けば、$y$は+4動きますね。なので$$ \begin{matrix} x: \\ y: \end{matrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} +2増加 \ +4増加 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \ 9 \end{pmatrix} $$

これで切片も9だとわかったので求める直線の式は$y=2x+9$だとわかりました。

ちなみに上記の一連の流れは、こんな風に書くこともできます。$$ \begin{array}{rr} & (3,&15) \\ -)&(-2,&5) \\ \hline &(5,&10) \end{array} \Rightarrow \frac{10}{5}=2 \\ \begin{array}{rr} & (-2,&5) \\ +)&(2,&4) \\ \hline &(0,&9) \end{array} \Rightarrow y=2x+9 $$

わかりやすい方の書き方で練習してくださいね。

切片がわかっているともっと楽

次に(2)ですが、これは切片が最初からわかっているので、あとは傾きを求めるだけですね。$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} +3増加 \\ -6増加 \end{pmatrix} $$なので $\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{-6}{3}=-2$ となり、傾きは-2とわかります。

よって求める直線の式は $y=-2x+2$ です。

連立方程式は不安になった時の最終手段

冒頭でも述べたように、連立方程式は「その場で答えがその場で確認できる」という特徴を持っています。なので仮に計算ミスをしていても、確かめることができます。

2点を通る直線の式を求めるのに普段は、今回の解き方で求めて、「明らかにこれおかしいだろ」とか不安に思った時には連立方程式で確かめる。という風に1つの問題の解き方に色々な手段を持っておくことも大事だと思います。

082-215-2722